凸関数より誘導される正の同次凸関数

Convex Function Convex Set
定理

関数$h$ は凸関数とし、Theorem 5.3（Rockafellar 1970）を用いて以下のように関数$f$を定義すると、以下が成立する。

\begin{align} f(x) &\equiv \inf \lbrace \mu \mid (x, \mu) \in \operatorname{cone}(\operatorname{epi}h) \rbrace \notag \\ &= \inf \lbrace (h \lambda)(x) \mid \lambda \ge 0 \rbrace \notag \end{align}

この関数$f$を positively homogeneous convex function generated by $h$と呼ぶ。

証明

$\operatorname{cone}(\operatorname{epi}h) = \bigcup_{\lambda \ge 0} \big( \lambda \operatorname{epi}h \big)$ を証明すれば良く、まずその証明を行う。

Corollary 2.6.2（Rockafellar 1970）より$\operatorname{epi} h$を含む最小の凸錐は次のように記述できる。

\begin{align} \operatorname{cone}(\operatorname{epi}h) &= \lbrace \Sigma_{i} \lambda_i (x_i, \mu_i) \mid \forall i \in \mathbb{N} \quad (x_i, \mu_i) \in \operatorname{epi}h \quad \lambda_i \ge 0 \rbrace \notag \end{align}

またCorollary 2.6.3（Rockafellar 1970）より、$\operatorname{epi} h$は凸集合であるから、それを含む最小の凸錐は次のようにも記述できる。

\begin{align} \lbrace \lambda (x, \mu) \mid (x, \mu) \in \operatorname{epi}h \quad \lambda \ge 0 \rbrace = \bigcup_{\lambda \ge 0} \big( \lambda \operatorname{epi}h \big) \notag \end{align}

以上をまとめると、$\operatorname{cone}(\operatorname{epi}h) = \cup_{\lambda \ge 0} \big( \lambda \operatorname{epi}h \big)$が成立する。
よって、

\begin{align} f(x) &\equiv \inf \lbrace \mu \mid (x, \mu) \in \operatorname{cone}(\operatorname{epi}h) \rbrace \notag \\ &= \inf \lbrace \mu \mid (x, \mu) \in \bigcup_{\lambda \ge 0} \big( \lambda \operatorname{epi}h \big) \rbrace \notag \\ &= \inf \bigcup_{\lambda \ge 0} \lbrace \mu \mid \lambda^{-1}(x, \mu) \in \operatorname{epi}h \rbrace \notag \\ &= \inf \lbrace (h \lambda)(x) \mid \lambda \ge 0 \rbrace \notag \end{align}

となり、示された。

参考文献

Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p35