定理
$f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$が同次二次関数であると仮定する。このとき、集合$\mathcal{M} = \lbrace (f(x), g(x)) : x \in \mathbb{R}^n \rbrace \subset \mathbb{R}^2$は凸である。
方針
凸性の定義を直接確認して証明する。
凸性の証明にあたり、凸結合となる定数の存在を示している。
証明
二点$u = (u_f, u_g)$、$v = (v_f, v_g)$を取る。
これらの二点と原点が同一直線上にあるとする。
$u$と$v$の間の線分は凸であるとともに、関数の同時性より$\mathcal{M}$に属する。
（線分上の点は適当な係数$\alpha$を用いて$\alpha(f(x), g(x))$となる。同次性より、その次数を$n(= 2)$として、$(f(\alpha^{1/n}x), g(\alpha^{1/n}x)) \subset \mathcal{M}$となる。）これらの二点と原点が同一直線上にないとする。
これらの点が$\mathcal{M}$に属するので、次のような点$x_u, x_v \in \mathbb{R}^n$が存在する。
（証明の準備：証明すべきことの整理）
更に一般性を失うことなく次を仮定できる。
（$d=0$の時は$u,v$が同一直線上のとき。$(LHS) < 0$の時もあるが、順番を入れ替えることで正にできる。）
凸性の証明にあたり、定数$\lambda \in (0, 1)$に対して次の$x_\lambda \in \mathbb{R}^n$が存在することを示す。
$\rho$および$\theta$は実数変数として、$x_\lambda$を次の形で求める。（$x_u, x_v$のspanを上手く表現）
この$x_\lambda$を代入して以下が得られる。
これらの方程式から$\rho^{2}$を消去し、$\lambda$を$\theta$の関数として表現すると以下のようになる。
$0 \le \lambda(\theta) \le 1$であり、対応する$\theta$が存在することを証明すればよい。
（証明のために導入した変数の上下限を決定）
$\lambda(\theta)$の分母は、$f,g$が同次二次関数であることから$\cos \theta$および$\sin \theta$の二次関数である。
よって$T(\theta) = \alpha \cos^{2} \theta + \beta \sin^{2} \theta + 2 \gamma \cos \theta \sin \theta$と記述できる。
$T(0) = \alpha, T(\frac{\pi}{2}) = \beta$である一方、実際に計算して、
となることから、$\alpha = \beta = d^{2} > 0$となる。
- $\gamma \geq 0$の場合
$\theta \in [0, \pi/2]$の場合は、$T(\theta) > 0$
- $\gamma \leq 0$の場合
$\theta \in [-\pi/2, 0]$の場合は、$T(\theta) > 0$ となる。
そのため、$\gamma$の符号に依らず同様の議論ができるため、$\gamma \geq 0$とする。
ここで、
(導入した変数の連続性を用いて、凸結合の存在を主張)
また、$\theta \in [0, \pi/2]$において$\cos \theta, \sin \theta$は連続で$f, g$は同次二次関数より連続であるから$\lambda(\theta)$も連続となる。よって、$0 = \lambda(0) \le \lambda(\theta) \le \lambda(\frac{\pi}{2}) = 1$となるような$\theta$が存在する。$x_\lambda$を構成する$\rho$は、$\rho^{2} f(x_u \cos \theta + x_v \sin \theta) = (1 - \lambda)u_f + \lambda v_f$により求めることができるため、凸結合の存在が示され、題意は示された。
参考文献
元論文
- Dines, On the mapping of quadratic forms, Bull. Amer. Math. Soc., 47 (1941), pp. 494– 498.
定理、証明の引用先
- Pólik, Imre, and Tamás Terlaky. "A survey of the S-lemma." SIAM review 49.3 (2007): 371-418.
