定理
以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。
1. $\lbrace Ax + Bz = b, \ x \ge \boldsymbol{0} \rbrace$
2. $\lbrace y^{T} A \ge \boldsymbol{0}, y^{T} B = \boldsymbol{0}, y^{T} b < 0 \rbrace$
証明
（2.が成立すると1.が成立しない）
$x \ge \boldsymbol{0}$において、$y^{T}(Ax + Bz) \ge 0$となるが、$y^{T} b < 0$となるため1.は成立しない。
（2.が成立しないと1.が成立する）
2.の否定を基に、$\lbrace y^{T} A < \boldsymbol{0}, y^{T} B = \boldsymbol{0}, y^{T} b < 0 \rbrace$を考える。上と同様に考えると、$y^{T}(Ax + Bz) = y^{T} Ax < 0$で$y^{T} b < 0$となるため、成立する。
参考文献
Giorgi, G. "All linear theorems of the alternative have a common father. An addendum to a paper of CT Perng." Fundamental Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 13 (2020): 43-78.
