凹関数の逆数は凸関数

Convex Function
定理

$g$を凹関数とし、$h(x)=\frac{1}{g(x)}$とする。$h(x)$は$C = \lbrace x \mid g(x) >0 \rbrace$上で凸関数となる。

証明

（解法１）
　関数$h$について、$\forall \lambda \in [0.1] \quad x,y \in C$に対して、$z=\lambda x + (1-\lambda)y$とし、

\begin{eqnarray*} \lambda h(x) + (1- \lambda) h(y) - h(z)\ge 0 \end{eqnarray*}

が成立すれば良い。以下では、それを証明する。

\begin{eqnarray*} \lambda h(x) + (1-\lambda)h(y) - h(z) &=&\frac{\lambda}{g(x)} + \frac{1-\lambda}{g(y)} - \frac{1}{g(z)} \\ &=& \frac{\lambda g(y)g(z) + (1-\lambda)g(x)g(z) - g(x)g(y)}{g(x)g(y)g(z)} \\ &\ge& \frac{1}{g(x)g(y)g(z)} \big( \lambda g(y) \big(\lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)\big)) + \\ && +(1-\lambda)g(x)\big(\lambda g(x) + (1-\lambda) g(y)\big) - g(x)g(y) \big) \tag{1} \\ &=& \frac{\lambda(1-\lambda)}{g(x)g(y)g(z)} \big( g(x)-g(y) \big)^{2} \tag{2} \\ &\ge&0 \end{eqnarray*}

となり、示された。$(1)$では$g$の凹性より、$(2)$では展開して整理しすることで導かれる。

（解法２）
　$f = - g$とると、fは凸関数となる。以下で定義される$\phi$を考える。

\begin{equation*} \phi(x) = \begin{cases} - \frac{1}{x} \quad \text{if} \quad x < 0 \\ \infty \quad \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*}

　$h(x) = \phi(f)$と記述でき、Theorem 5.1（Rockafellar 1970）より、hは凸関数であることが示される。