定理
$C$ を $R^{n}$ 内の非空の凸集合とする。このとき、$z \in \operatorname{ri} C$ であるための必要十分条件は、任意の $x \in C$ に対して、$(1 - \mu)x + \mu z$ が $C$ に属する、$\mu > 1$ となる $\mu$ が存在することである。
不明点
（$\Leftarrow$） の証明の際、仮定では$\forall x \in C$であるのに、$x \in \operatorname{ri}C$の場合を考えていること
証明
（$\Rightarrow$）
Theorem 6.3（Rockafellar 1970）の証明と同様に示す。
題意の外分点を$y$とすると、次のように記述できる。
$$
y = (1-\mu)x + \mu z = z - (\mu-1)(x-z)
$$
$z \in \operatorname{ri}C$より、その定義から、$y \in C$となる$\mu - 1 > 0$が存在する。
（$\Leftarrow$）
先の証明で用いた式を並び替えて両辺を$\mu>1$で除すると、
$$
z = (1 - \frac{1}{\mu})x +\frac{1}{\mu} y
$$
となる。Proposition 1.3.2（Bertsekas 2009）より、$C$が凸集合であるので$\operatorname{ri}C$は非空となることから、$x \in \operatorname{ri}C$を考える。また、仮定より$y \in C$である。$0 < \frac{1}{\mu} < 1$であることから、Theorem 6.1（Rockafellar 1970）により $z \in \text{ri } C$ となる。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p47
