定理
$\mathbb{R}^n$ 内の任意の凸集合 $C$ に対して、$\text{cl} (\text{ri} C) = \text{cl } C$ かつ $\text{ri} (\text{cl } C) = \text{ri } C$ が成り立つ。
証明
($\text{cl} (\text{ri } C) = \text{cl} C$ の証明)
$\text{ri } C \subset C$より$\text{cl} (\text{ri } C) \subset \text{cl} C$が成立する。
次に$\text{cl} (\text{ri } C) \supset \text{cl} C$を示す。$\forall x \in \operatorname{cl}C$について$x \in \operatorname{cl}(\operatorname{ri}C)$を示せば良い。Proposition 1.3.2（Bertsekas 2009）より$C$が非空であれば$\operatorname{ri}C$は非空となるため、$y \in \operatorname{C}$となる$y$が存在する。ここでTheorem 6.1（Rockafellar 1970）より$x$と$y$を繋ぐ線分の内、$x$以外は$\operatorname{ri}C$に含まれる。その閉包をとることで、定義より$x \in \operatorname{cl}(\operatorname{ri}C)$が導かれ、示された。
($\text{ri} (\text{cl } C) = \text{ri } C$の証明)
$\operatorname{cl} C \supset C$は成立する。Theorem 6.2（Rockafellar 1970）より、それぞれのアフィン包は一致することから、相対的内部の定義より$\operatorname{ri}(\operatorname{cl}C) \supset \operatorname{ri}C$となる。
次に$\text{ri} (\text{cl} C) \subset \text{ri} C$を示す。$\forall x \in \operatorname{ri}(\operatorname{cl} C)$について$x \in \operatorname{ri}C$を示せば良い。
$\forall y \in \operatorname{ri}C$と、十分小さい$\epsilon > 0$を用いて定義される$\lambda (0 \le \lambda - 1 \le \epsilon)$とから定義される$x,y$の外分点点$z$を考える。
$$
z = \lambda x + (1-\lambda)y = x + (\lambda - 1)(x - y) = x + \epsilon (x-y)
$$
と記述できる。この点は$x$に十分近い外分点であるため、$z\in \operatorname{cl}(\operatorname{ri}\operatorname{cl}C) = \operatorname{cl}(\operatorname{cl}C) = \operatorname{cl}C$となる。
この外分点$z$の式を整理すると、$(1 - \frac{1}{\lambda})y + \frac{1}{\lambda}z = x$と記述でき、$0 < \frac{1}{1+\epsilon} \le \frac{1}{\lambda} \le 1$より、Theorem 6.1（Rockafellar 1970）から$x \in \operatorname{ri}C$となる。よって示された。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p46
