定理
任意の凸集合 $C \subset \mathbb{R}^n$ に対し、$\operatorname{cl} C$ および $\operatorname{ri} C$ は同じアフィン包を持ち、それぞれ$C$と同じ次元を持つ。（特に、$C \neq \emptyset$ ならば $\operatorname{ri} C \neq \emptyset$ である。）
証明
Theorem 3.1（Rockafellar 1970）より、$\forall \epsilon$に対して$C + \epsilon B$ は凸集合となる。よって、Theorem 2.1（Rockafellar 1970）より、$\operatorname{cl}C = \bigcap_{\epsilon > 0} (C + \epsilon B)$は凸集合となる。同様に、$\operatorname{aff}C$が凸集合であることから$\operatorname{ri}C$も凸集合となる。（Theorem 6.1（Rockafellar 1970）において、$y \in \operatorname{ri}C$として証明）
それぞれが同じアフィン包を持つことを証明する。
まず$\operatorname{aff}\operatorname{cl}C = \operatorname{aff}C$であることを確認する。
$\operatorname{cl}C \supset C$より、$\operatorname{aff}(\operatorname{cl}C) \supset \operatorname{aff}C$となる。 また。$\operatorname{cl}C \subset \operatorname{cl}(\operatorname{aff}C) = \operatorname{aff}C$より、$\operatorname{aff}(\operatorname{cl}C) = \operatorname{aff}C$となる。
よって、２つの集合は等しいことがわかる。
次に$\operatorname{aff}(\operatorname{ri}C) = \operatorname{aff}C$であること及び$\operatorname{ri}C \neq \emptyset$は、Proposition 1.3.2（Bertsekas 2009）にて示される。
よって、$\operatorname{cl}C, \operatorname{ri}C$はそれぞれ同じアフィン包をもつ。
それぞれの次元はTheorem 2.4（Rockafellar 1970）より、それぞれに含まれる最大の単体の次元、つまりアフィン包の次元と等しい。それぞれのアフィン包は$\operatorname{aff}C$であるため、$C$の次元と等しい。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p45
