定理
$C$ を $\mathbb{R}^n$ の凸集合とする。$x \in \text{ri } C$ 及び $y \in \text{cl } C$ とする。このとき、$0 \leq \lambda < 1$ に対して $(1 - \lambda)x + \lambda y$ は $\text{ri } C$（従って特に $C$）に属する。
証明
$B(x, a) = \lbrace x \mid d(x,a) \le 1 \rbrace$とすると$\operatorname{ri}C$の定義より、$(1 - \lambda)x + \lambda y + \epsilon' B(x,0) \subset C$を証明すれば良い。
となる。
$C$が$n$次元空間上で定義された凸集合であるため、$\operatorname{ri}C = \operatorname{int}C$であり、$x \in \operatorname{int}C$となる。その定義より、十分小さい$\epsilon'' = \frac{\lambda \epsilon + \epsilon'}{1-\lambda}$に対して、$x + \frac{\lambda \epsilon + \epsilon'}{1-\lambda} B(x,0) \in C$となる。
また、$C$は凸集合であるため、Theorem 3.2（Rockafellar 1970）より$(1-\lambda)C + \lambda C = C$となる。 よって、$(1 - \lambda)x + \lambda y + \epsilon' B(x,0) \in C$は示された。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p45
