Theorem 5.7（Rockafellar 1970）

定理

$A$を$\mathbb{R}^{n}$から$\mathbb{R}^{m}$への線形変換とする。このとき、$\mathbb{R}^{m}$上の各凸関数$g$に対して、関数$gA$を次のように定義すると、$\mathbb{R}^{n}$上で凸となる。

$\begin{eqnarray*} (gA)(x) = g(Ax) \end{eqnarray*}$

また、$\mathbb{R}^{n}$上の各凸関数$h$に対して、関数$Ah$を次のように定義すると、$\mathbb{R}^{n}$上で凸となる。

$\begin{eqnarray*} (Ah)(y) = \inf \{h(x) \mid Ax = y\} \end{eqnarray*}$

証明

($gA$の凸性)
Theorem 4.1（Rockafellar 1970）を用いる。 $g$が凸関数であることと$gA$の定義から、$x_1, x_2 \in \mathbb{R}^{n}, \lambda \in [0,1]$に対して以下が成立する。

$\begin{aligned} (gA) \big( \lambda x_1 + (1-\lambda)x_2 \big) &= g\big( A\lambda x_1 + A(1-\lambda)x_2 \big) \\ &= g\big( \lambda Ax_1 + (1-\lambda)Ax_2 \big) \\ & \le \lambda g(Ax_1) + (1-\lambda) g(Ax_2) \\ & = \lambda (gA)(x_1) + (1-\lambda) (gA)(x_2) \end{aligned}$

よって、$gA$は凸関数となる。

($Ah$の凸性)
定義式は、線形変換$(A,1) \colon (x, \mu) \in \operatorname{epi}h \subset \mathbb{R}^{n+1} \longmapsto (y, \mu) \in \ \mathbb{R}^{m+1}$を用いて次のように記述できる。

$\begin{aligned} (Ah)(y) = \inf \lbrace \mu \mid (y, \mu) \in (A,1)(\operatorname{epi}h) \rbrace \end{aligned}$

$\operatorname{epi}h$は凸集合であるため、その線形変換された集合も凸集合となる。よって、Theorem 5.3（Rockafellar 1970）より、$(Ah)(y)$は凸関数となる。

参考文献

Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p38