Theorem 5.1（Rockafellar 1970）

定理

$f$を$\mathbb{R}^{n}$から$(-\infty, +\infty]$への凸関数とし、$\varphi$を$\mathbb{R}$から$(-\infty, +\infty]$への凸関数で単調非減少とする。このとき、$h(x) = \varphi(f(x))$は$\mathbb{R}^{n}$上で凸である（$\varphi(+\infty) = +\infty$とする）。

証明

$x, y \in \mathbb{R}^{n}$に対して$0 < \lambda < 1$とすると、$f$が凸関数であるからTheorem 4.1（Rockafellar 1970）より、

$\begin{eqnarray*} f \big( (1 - \lambda) x + \lambda y \big) \le (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y) \end{eqnarray*}$

が成立する。この不等式の両辺に、凸関数である$\varphi$を適用すると、

$\begin{eqnarray*} h \big( (1 - \lambda) x + \lambda y \big) = \varphi \big ( f( (1 - \lambda) x + \lambda y) \big) \le \varphi \big( (1 - \lambda) f(x) + \lambda f(y ) \big) \le (1 - \lambda) h(x) + \lambda h(y) \end{eqnarray*}$

が成立する。Theorem 4.1（Rockafellar 1970）より、これは$h$が凸関数であることを示す。

参考文献

Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p32