定理
$A$を$\mathbb{R}^{n}$から$\mathbb{R}^{m}$への線形変換とする。このとき、任意の凸集合$C \subset \mathbb{R}^{n}$に対して$AC = \lbrace Ax \mid x \in C \rbrace$は凸集合である。また任意の凸集合$D \subset \mathbb{R}^{m}$に対して $A^{-1}D = \lbrace x \mid Ax \in D \rbrace$は凸集合である。
証明
（$AC$の凸性）
$C$が凸集合であることから、$0 \le \lambda \le 1 \quad x, y \in C$に対して$\lambda x + (1 - \lambda)y \in C$となる。$A$が線形変換であることから、$\lambda Ax + (1 - \lambda )Ay = A \Big( \lambda x + (1 - \lambda) y \Big) \in AC$であることから$AC$は凸集合となる。
（$A^{-1}D$の凸性）
$D$が凸集合であることから、$0 \le \lambda \le 1 \quad Ax, Ay \in D$に対して$\lambda Ax + (1 - \lambda)Ay \in D$となる。これらの式は、$A$の逆像$A^{-1}$を用いることで、$x, y \in A^{-1}D$、$\lambda x + (1 - \lambda)y \in A^{-1}D$とすることができる。よって$A^{-1}D$は凸集合となる。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p18
