定理
もし $C_1$ と $C_2$ が $\mathbb{R}^{n}$ 内の凸集合であれば、それらの和 $C_1 + C_2 = \lbrace x_1 + x_2 \mid x_1 \in C_1, x_2 \in C_2 \rbrace$ も凸である。
証明
$x, y \in C_1 + C_2$ とすると、$x_1, y_1 \in C_1 \quad x_2, y_2 \in C_2$ を用いて$x = x_1 + x_2 \quad y = y_1 + y_2$と記述できる。このとき、$0 < \lambda < 1$に対して$(1 - \lambda)x + \lambda y = [(1 - \lambda)x_1 + \lambda y_1] + [(1 - \lambda)x_2 + \lambda y_2]$を考える。 $C_1, C_2$は凸集合であるから、$(1 - \lambda)x_1 + \lambda y_1 \in C_1 \quad (1 - \lambda)x_2 + \lambda y_2 \in C_2$となるため、定義より$(1 - \lambda)x + \lambda y$は$C_1+C_2$に含まれることがわかる。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p16
