定理
凸集合 $C$ の次元は、$C$ に含まれる様々な単体の次元の最大値である。
方針
$C$に含まれる単体の中で最大次元を持つものが、$C$のアフィン包であることを示す。
証明
$\forall c \subset C \Rightarrow \text{conv}(c) \subset C$より、$C$には単体が含まれる。
$C$に含まれる単体の最大の次元を$m$とすると、その単体を構成する$m+1$個のアフィン独立の点が$C$に含まれることになる。この点から生成されるアフィン包を$M$とすると、$\text{dim} M = m$となる。
（$M \subseteq \text{aff}(C)$の証明）
$M$の定義より、明らかに$M \subseteq \text{aff}(C)$となる。
（$\text{aff}(C) \subseteq M$の証明）
もし $C \setminus M$ が空集合でないなら、$M$を構成する際に用いた点にその点を追加した合計$m+2$個のアフィン独立の点を用いて、$m+1$次元のアフィン集合を構成できることとなり、$m$が最大次元であることに反する。よって、$C \subseteq M$となる。このことから、$\text{aff}(C) \subseteq M$となる。
したがって、$\text{aff}(C) = M$であるため、 $\mathrm{dim} C = m$ が示された。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R. "Convex analysis." Princeton mathematical series 28 (1970).
