定理
凸集合の積集合は凸集合である。
証明
凸集合の族を$\lbrace C_\lambda \rbrace_{\lambda \in \Lambda}$とし、その積集合を$C = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda$とする。
$\forall \lambda \in \Lambda, \forall x,y \in C \subseteq C_\lambda$に対して、$C_\lambda$が凸集合であることより、$0 \le \alpha \le 1$となる$\alpha$を用いて$\alpha x + (1-\alpha)y \in C_\lambda$が成立する。この凸結合で表される点は全ての$C_\lambda$に含まれるため、$\alpha x + (1-\alpha)y \in C$となる。よって、$C$も凸集合となる。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p10
