定理
$\mathbb{R}^n$から$\mathbb{R}^m$へのアフィン変換$T$は、$Tx = Ax + a$の写像である。このとき$A$は線形変換、$a \in \mathbb{R}^m$である。
方針
・$Ax = Tx - a$となる写像$A$の存在は、$Tx-a$が存在すれば、示さなくても良い。
・$A$の線形性を示すために、$a = T0$とする。
証明
（アフィン変換$\rightarrow Tx = Ax + a$）
$a = T0$とし、$Ax = Tx - a$となるような$A$を考える。
$T$がアフィン変換であることから、
$$
A\big( (1-\lambda)x + \lambda y \big) = T\big( (1-\lambda)x + \lambda y \big) - a = (1-\lambda)\big(T(x)-a) + \lambda T(y -a) = (1-\lambda)A(x) + \lambda A(y)
$$
が成立し、$A$もアフィン変換である。
ここで、$A\big(\lambda x + (1 - \lambda)0 \big) = \lambda Ax$となることから、$A$は線形変換となる。
（$Tx = Ax + a \rightarrow$ アフィン変換）
$Tx = Ax + a$で $A$が線形であるならば、
$T((1 - \lambda)x + \lambda y) = (1 - \lambda)Ax + \lambda Ay + a = (1 - \lambda)Tx + \lambda Ty$
となり、$T$はアフィン変換であることが示される。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p7
