定理
$b \in \mathbb{R}^m$ および $m \times n$ 実行列 $B$ が与えられたとする。集合$M = \lbrace x \in \mathbb{R}^n \mid Bx = b \rbrace$は $\mathbb{R}^n$ 内のアフィン集合である。さらに、すべてのアフィン集合はこのように表現することができる。
証明
（$M \rightarrow$ アフィン集合）
$x,y \in M$ 、$\lambda \in \mathbb{R}$ のとき、$z = (1 - \lambda)x + \lambda y$ に対して、
となるので $z \in M$となる。よって、与えられた $M$ はアフィン集合である。
（アフィン集合$\rightarrow M$）
- $\mathbb{R}^n$ではない、任意の非空のアフィン集合 $A$ の場合を考える。
$L$ を $A$ に平行な部分空間とし、$b_1, \ldots, b_m$ を $L^\perp$ の基底とする。このとき、
ただし$B$ は、行ベクトルが $b_1, \ldots, b_m$ である $m \times n$ 行列である。 $A$が $L$ に平行なので、$M$ に対して $a \in \mathbb{R}^n$ が存在し、
と記述できる。$b = Ba$とした。
- $A$が $\mathbb{R}^n$ および $\varnothing$ の場合を考える。
$B$ を $m \times n$ 零行列とする。 $\mathbb{R}^n$ の場合、全ての$x$を取り扱えればよく、$b = 0$とすれば良い。 また$\varnothing$ の場合、該当する$x$は存在しないため、 $b \neq 0$ とすれば良い。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970, p5
