定理
$\mathbb{R}^n$ の部分空間は原点を含むアフィン集合である。
方針
同値であることを主張していることに注意が必要。
証明
（部分空間$\rightarrow$アフィン集合）
すべての部分空間は 0 を含む。また部分空間は加法およびスカラー乗算の下で閉じており、それらを組み合わせることで、アフィン集合であることが示される。
（アフィン集合$\rightarrow$部分空間）
$M$ が 0 を含むアフィン集合であると仮定する。
任意の $x \in M$ と $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して、$\lambda x = (1 - \lambda)0 + \lambda x \in M$となることから、スカラー乗算に対して閉じている。
また、 $x,y \in M$ に対して、$\frac{1}{2}(x + y) = \frac{1}{2}x + \left(1 - \frac{1}{2}\right)y \in M$となる。スカラー乗算について閉じていることから、$x + y = 2\left(\frac{1}{2}(x + y)\right) \in M$が成立する。よって加法の下でも閉じていることが示されるため、$M$は部分空間である。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p4
