定理
関数 $F : \mathbb{R}^{n+m} \to (-\infty, \infty]$ と、次のように定義される関数 $f := \inf_{z \in \mathbb{R}^m} F(x, z) : \mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]$ を考える。このとき、次の２つが成立する。
１. $F$ が凸ならば、$f$ も凸である。
２. $P(\operatorname{epi} F) \subset \operatorname{epi}f \subset \operatorname{cl}\big(P ( \operatorname{epi}F) \big).$ ただし、$P(\cdot)$ は $(x, w)$ の空間への射影を表す。つまり、$\mathbb{R}^{n+m+1}$ の任意の部分集合 $S$ に対して、$P(S) = \lbrace (x, w) \mid (x, z, w) \in S \rbrace$ である。
証明
（Coming Soon）
参考文献
Bertsekas, Dimitri. Convex optimization theory. Vol. 1. Athena Scientific, 2009. p122
