Lemma 3（Giorgi, G., 2020）

定理

以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 $A_i$は行列を指しており、$i$は通し番号である。また$\gneq$は、両辺が一致することはないが要素ごとに見ると$\ge$が成立する不等式である。

$\lbrace A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + \sum_{j=4}^{q} A_j x_j = \boldsymbol{b}, x_2 \geq \boldsymbol{0}, x_3 > \boldsymbol{0}, \ x_j \gneq \boldsymbol{0}, j = 4, \dots, q \rbrace$

$\begin{eqnarray*} \left \lbrace \begin{aligned} &y^{T} A_1 = \boldsymbol{0}, \quad y^{T} A_j \geq \boldsymbol{0}, j = 2, \dots, q, \quad y^{T}\boldsymbol{b} \le 0 \\ &\text{　かつ、次の少なくとも一つが成立}\\ &y^{T}\boldsymbol{b} < 0 \\ &y^{T} A_3 \gneq \boldsymbol{0} \\ &y^{T} A_j > \boldsymbol{0} \ \text{fot at least an index }j, \ 4 \leq j \leq q \end{aligned} \right \rbrace \end{eqnarray*}$

証明

1.を次のように書き換え、Lemma 2（Giorgi, G., 2020）を適用することで示される。

$\begin{eqnarray*} \left \lbrace \begin{aligned} &A_1 x_1 + A_2 x_2 + (A_3, \boldsymbol{b}) \begin{bmatrix} x_3 \\ -1 \\ \end{bmatrix} + \sum_{j=4}^{q} A_j x_j = \boldsymbol{0}, \\ &x_2 \geq \boldsymbol{0},\\ &x_3 > \boldsymbol{0},\\ &x_j \gneq \boldsymbol{0}, \quad j = 4, \dots, q \end{aligned} \right \rbrace \end{eqnarray*}$

参考文献

Giorgi, G. "All linear theorems of the alternative have a common father. An addendum to a paper of CT Perng." Fundamental Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 13 (2020): 43-78.