論文の概要
本論文は、決定変数と不確実性を表す分布の台が同じ空間に属するとき、ある条件の下Robust Optimization（RO）の最適解がDistributionally Robust Stochastic Programming（DRSP）の最適解と漸近的に一致することを示したものである。
詳細な問題設定としては、最適化対象の関数$f(\cdot, \cdot) : \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{m} \mapsto \mathbb{R} \cup \lbrace -\infty \rbrace$は可測関数であり、データ$\lbrace x_n \rbrace$は確率分布$h^{*}$からiidで観測されたとする。また$f$は有限でかつ同程度連続であるとする、つまり$\max_{x, v} | f(v,x) | \le Const$、かつ$d(\epsilon) := \max_{x, v, | \delta |_{\infty} \le \epsilon} | f(v, x + \delta) - f(v,x) | \rightarrow 0$である。
このとき、次のROの最適解$v_{(n)}$はDRSPの解となる。
つまり、$v_{(n)} := \arg\max_v \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \inf_{|\delta_i|_\infty \le \epsilon(n)} f(v, x_i + \delta_i)$に対して、
が成立する。
不明点
詳細は割愛するが、本論文のTheorem１、２の証明において不明な箇所があった。
-（Theorem１）：$f( \hat{x}_{i} )$の定義において、$\inf$ではなく$\max$が使用されている点
-（Theorem１）：$\sum_{k=1}^{n} \alpha_k f( \hat{x}_{k} ) \ge \sum_{k=1}^{n} c_k f( \hat{x}_{k} )$が成立する理由
-（Theorem２）：$\frac{| S |}{n}$が導出できる箇所。（$2^{m}$や$\epsilon(n)^{m}$などが消去できた理由）
-（Theorem２）：最後、$\lim_n \int_{\mathbb{R}^{m}} f(v_{(n)},\mathbf{x}) h^{*} (\mathbf{x}) d\mathbf{x} = \lim_n \inf_{\tilde{\mu} \in \mathcal{P}_n} \int_{\mathbb{R}^{m}} f(v_{(n)}, \mathbf{x}) d\tilde{\mu}$より、Theorem２の式を導出できる理由
