Corollary 6.3.2（Rockafellar 1970）

Convex Set
定理

もし $C$ が $\mathbb{R}^n$ の凸集合であるならば、$\operatorname{cl}C$ と交わる任意の開集合は、$\operatorname{ri}C$ とも交わる。

証明

　任意の開集合を$A$として、$\operatorname{cl} C \cap A \neq \emptyset \Rightarrow \operatorname{ri}C \cap A \neq \emptyset$を示せば良い。 $\exists \epsilon > 0, \quad \exists x \in \operatorname{cl} C \cap A \quad\text{s.t.} \quad x + \epsilon B \in A, \quad x + \epsilon B \in \operatorname{cl}C$となる。 Theorem 6.2（Rockafellar 1970）およびTheorem 6.3（Rockafellar 1970）より、

\begin{aligned} \operatorname{ri}C &= \operatorname{ri}(\operatorname{cl}C) \\ &= \lbrace y \in \operatorname{aff}(\operatorname{cl}C) \mid (y + \epsilon' B) \cap \operatorname{aff}(\operatorname{cl}C) \subset \operatorname{cl}C \rbrace \\ &\ni x \end{aligned}

となり、$x \in \operatorname{ri}C \cap A$となる$x$は存在する。よって示された。

参考文献

Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p46