定理
$\mathbb{R}^n$ 内の凸集合 $C_1$ と $C_2$ に対して、$\operatorname{cl} C_1 = \operatorname{cl} C_2$ であることは $\operatorname{ri} C_1 = \operatorname{ri} C_2$ であることと同値である。これらの条件は $\operatorname{ri} C_1 \subset C_2 \subset \operatorname{cl} C_1$ という条件に等しい。
証明
(「$\operatorname{cl}C_1 = \operatorname{cl}C_2 \Rightarrow \operatorname{ri}C_1 = \operatorname{ri}C_2$」の証明)
仮定およびTheorem 6.2（Rockafellar 1970）より、$\operatorname{aff}(\operatorname{cl}C_1) = \operatorname{aff}C_1 = \operatorname{aff}C_2 = \operatorname{aff}(\operatorname{cl}C_2)$となる。また、$C_1 \subset \operatorname{cl}C_1 =\operatorname{cl}C_2$となる。
よって、$\forall x \in \operatorname{ri}C_1 = \lbrace x \in \operatorname{aff}C_1 \mid \exists \epsilon > 0, (x + \epsilon B)\cap \operatorname{aff}C_1 \subset C_1 \rbrace$は、$x \in \lbrace x \in \operatorname{aff}(\operatorname{cl})C_2 \mid \exists \epsilon > 0, (x + \epsilon B)\cap \operatorname{aff}(\operatorname{cl})C_2 \subset \operatorname{cl}C_2 \rbrace = \operatorname{ri}(\operatorname{cl}C_2)$となる。Theorem 6.3（Rockafellar 1970）より、$\operatorname{ri}(\operatorname{cl}C_2) = \operatorname{ri}C_2$となるため、$\operatorname{ri}C_1 \subset \operatorname{ri}C_2$が示される。$\operatorname{ri}C_1 \supset \operatorname{ri}C_2$についても同様に示される。
(「$\operatorname{cl}C_1 = \operatorname{cl}C_2 \Leftarrow \operatorname{ri}C_1 = \operatorname{ri}C_2$」の証明)
となり、示された。
(「$\operatorname{cl}C_1 = \operatorname{cl}C_2 \Rightarrow \operatorname{ri}C_1 \subset C_2 \subset \operatorname{cl}C_1$」の証明)
仮定より$\operatorname{cl}C_1 = \operatorname{cl}C_2 \supset C_2$となる。また、$C_2 \supset \operatorname{ri}C_2 = \operatorname{ri}C_1$が成立する。よって、示された。
(「$\operatorname{cl}C_1 = \operatorname{cl}C_2 \Leftarrow \operatorname{ri}C_1 \subset C_2 \subset \operatorname{cl}C_1$」の証明)
となる。また、$\operatorname{ri}C_1 \subset C_2$より$\operatorname{cl}(\operatorname{ri}C_1) \subset \operatorname{cl}C_2$となり、Theorem 6.3（Rockafellar 1970）から$\operatorname{cl}C_1 \subset \operatorname{cl} C_2$となる。よって示された。
