定理
$f_i$が$\mathbb{R}^{n}$上の凸関数であり、$z_i$が任意の添字集合$I$の各$i \in I$に対して実数であるとする。このとき、$C = \lbrace x \mid f_i(x) \leq z_i, \forall i \in I \rbrace$ は凸集合である。
証明
$f_i$は$\mathbb{R}$の値を持つ関数であり、上に有界でならば上界、下に有界ならば下界が存在する。上に有界であるとすると、$z_i = \sup f_i$とするとレベル集合は$\mathbb{R}^{n}$となる。また上に有界でなくとも、適当な$z_i$を用いると、$f_i$が凸関数であるためレベル集合も凸集合となる。下に有界であるとすると、$z_i \le \inf f_i$とするとレベル集合は空集合もしくは点となるため凸集合となる。同様に議論して、どのような$z_i$に対してもレベル集合は凸集合となる。
したがって、Theorem 2.1（Rockafellar 1970）より、これらレベル集合の積集合は凸集合となる。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p29
