定理
凸集合$C$に対して、$K = \lbrace \lambda x \mid \lambda > 0, x \in C \rbrace$とする。$K$ は $C$ を含む最小の凸錐である。
証明
Corollary 2.6.2（Rockafellar 1970）より、Cの全ての線形結合が$K$に含まれることを示せば良い。Theorem 2.2（Rockafellar 1970）から全ての凸結合は$C$に含まれるため、$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in \mathbb{R}_{+}, \Sigma_{i=1}^n \lambda_i = 1$および$x_1, \cdots, x_n \in C$に対して$\Sigma_{i=1}^n \lambda_i x_i \in C$となる。$K$は$C$の要素の正のスカラー倍であることから、全ての線形結合を含むことになる。よって示された。
参考文献
Tyrrell Rockafellar, R, 1970 p14
