定理 $x \in \mathbb{R}^{n}, y \in \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{m \times n}$を用いた不等式系 は、$Ax^{*} + y^{*} > \boldsymbol{0}$を満たす解$(x^{*}, y^{*})$を持つ。 証明 題意の線型不等式系が解を持つための必要十分条件は、Theorem 3（Gior…

定理 まず以下の変数や記法を定義する。 ・通し番号の集合を分割する２種類の集合$\lbrace M_{i} \rbrace_{i=1}^{p}, \lbrace N_{j} \rbrace_{j=1}^{q}$： ・行列$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$、その$(i,j)$要素を$a_{i,j}$とする。またブロック行列を$A_…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 $A_i$は行列を指しており、$i$は通し番号である。また$\gneq$は、両辺が一致することはないが要素ごとに見ると$\ge$が成立する不等式である。 $\lbrace A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + \sum_{j=4}^{q…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 $A_i$は行列を指しており、$i$は通し番号である。また$\gneq$は、両辺が一致することはないが要素ごとに見ると$\ge$が成立する不等式である。 $\lbrace A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + \sum_{j=4}^{q…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 1. $\lbrace Ax + Bv + Cz = \boldsymbol{0}, v \ge \boldsymbol{0}, z > \boldsymbol{0} \rbrace$ 2. $\lbrace y^{T} A = \boldsymbol{0}, y^{T} B \ge \boldsymbol{0}, y^{T} C \gneq \boldsymbol{…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 1. $\lbrace Ax + Bz = b, \ x \ge \boldsymbol{0} \rbrace$ 2. $\lbrace y^{T} A \ge \boldsymbol{0}, y^{T} B = \boldsymbol{0}, y^{T} b < 0 \rbrace$ 証明 （2.が成立すると1.が成立しない） $x …