定理 $C$ を $\mathbb{R}^n$ の凸集合とする。$x \in \text{ri } C$ 及び $y \in \text{cl } C$ とする。このとき、$0 \leq \lambda < 1$ に対して $(1 - \lambda)x + \lambda y$ は $\text{ri } C$（従って特に $C$）に属する。 証明 $B(x, a) = \lbrace x …

定理 $f_1, \dots, f_m$ を $\mathbb{R}^n$上の真凸関数とする。以下も凸関数である。 方針 $f,g,h,k$順に、その関数を定義する錐に対して、$x$、$\lambda, \mu$ 、$\lambda$、$\lambda, x$についてpartial addtionをとれば良い。 証明 錐$K \equiv \lbrace …

本論文の概要 取り組む問題 線形計画問題 双対問題 記法 内容 定理１ 定理 証明（方針） 定理2 証明 解がただ一つであることの確認方法 参考文献 本論文の概要 本論文は与えられた線形計画問題の最適解がただ一つであるかどうかを確認する方法を示したもので…

定理 $A \neq 0$とすると、以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 1. $A x > \boldsymbol{0}, \ B x \geq \boldsymbol{0}, \ C x = \boldsymbol{0}, \ x \in \mathbb{R}^{n}$ 2. $A^{T} y_1 + B^{T} y_2 + C^{T} y_3 = \boldsymbol{0}, \ y_1 \g…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 1. $A x = b, x \ge \boldsymbol{0}$ 2. $A^{T} y \ge \boldsymbol{0}, b^{T} y < 0$ 証明 （1.が成立するなら、2.が成立しない。） より示される。 （1.が成立しないなら、2.が成立する） $A x = b,…

定理 $A$を$\mathbb{R}^{n}$から$\mathbb{R}^{m}$への線形変換とする。このとき、$\mathbb{R}^{m}$上の各凸関数$g$に対して、関数$gA$を次のように定義すると、$\mathbb{R}^{n}$上で凸となる。 また、$\mathbb{R}^{n}$上の各凸関数$h$に対して、関数$Ah$を次…

定理 関数$h$ は凸関数とし、Theorem 5.3（Rockafellar 1970）を用いて以下のように関数$f$を定義すると、以下が成立する。 この関数$f$を positively homogeneous convex function generated by $h$と呼ぶ。 証明 $\operatorname{cone}(\operatorname{epi}h…

定理 $g$を凹関数とし、$h(x)=\frac{1}{g(x)}$とする。$h(x)$は$C = \lbrace x \mid g(x) >0 \rbrace$上で凸関数となる。 証明 （解法１） 関数$h$について、$\forall \lambda \in [0.1] \quad x,y \in C$に対して、$z=\lambda x + (1-\lambda)y$とし、 が成…

定理 $x \in \mathbb{R}^{n}, y \in \mathbb{R}^{n}, A \in \mathbb{R}^{m \times n}$を用いた不等式系 は、$Ax^{*} + y^{*} > \boldsymbol{0}$を満たす解$(x^{*}, y^{*})$を持つ。 証明 題意の線型不等式系が解を持つための必要十分条件は、Theorem 3（Gior…

定理 まず以下の変数や記法を定義する。 ・通し番号の集合を分割する２種類の集合$\lbrace M_{i} \rbrace_{i=1}^{p}, \lbrace N_{j} \rbrace_{j=1}^{q}$： ・行列$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$、その$(i,j)$要素を$a_{i,j}$とする。またブロック行列を$A_…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 $A_i$は行列を指しており、$i$は通し番号である。また$\gneq$は、両辺が一致することはないが要素ごとに見ると$\ge$が成立する不等式である。 $\lbrace A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + \sum_{j=4}^{q…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 $A_i$は行列を指しており、$i$は通し番号である。また$\gneq$は、両辺が一致することはないが要素ごとに見ると$\ge$が成立する不等式である。 $\lbrace A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + \sum_{j=4}^{q…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 1. $\lbrace Ax + Bv + Cz = \boldsymbol{0}, v \ge \boldsymbol{0}, z > \boldsymbol{0} \rbrace$ 2. $\lbrace y^{T} A = \boldsymbol{0}, y^{T} B \ge \boldsymbol{0}, y^{T} C \gneq \boldsymbol{…

定理 以下の線形不等式系のいずれか一方のみが解を持つ。 1. $\lbrace Ax + Bz = b, \ x \ge \boldsymbol{0} \rbrace$ 2. $\lbrace y^{T} A \ge \boldsymbol{0}, y^{T} B = \boldsymbol{0}, y^{T} b < 0 \rbrace$ 証明 （2.が成立すると1.が成立しない） $x …

定理 $\lbrace f_i \mid i \in I \rbrace$ を$\mathbb{R}^{n}$ 上の真凸関数の集合とし $I$は任意の添字集合とする。また、$f$ をその集合の凸包とする。このとき$f$は、 と記述できる。ただし、下限は $x$ を要素 $x_i$ の凸結合として表現するすべての表現…