定理 もし $C_1$ および $C_2$ が $\mathbb{R}^{n}$ の凸集合なら、そのinverse addition $C_1 \# C_2 = \bigcup \Big\lbrace \big((1 - \lambda)C_1 \cap \lambda C_2 \big) \mid 0 \leq \lambda \leq 1 \Big\rbrace$ もまた凸集合である。 証明 本証明では…

定理 $C_1$ と $C_2$ は $\mathbb{R}^{m+p}$ の凸集合とする。また、$C$ をベクトルの集合 $x = (y, z)$（ここで $y \in \mathbb{R}^m$ および $z \in \mathbb{R}^{p}$）とし、$(y, z_1) \in C_1$、$(y, z_2) \in C_2$、および $z_1 + z_2 = z$ となるような…

定理 $C$と$D$がそれぞれ$R^{m}$と$R^{p}$の凸集合であるとする。このとき、$C \oplus D = \lbrace x = (y, z) \mid y \in C, z \in D \rbrace$は$R^{m+p}$の凸集合である。 証明 $0 \le \lambda \le 1$に対して、$y_1, y_2 \in C, z_1, z_2 \in D$を考える…

定理 凸集合$C$を部分空間$L$へ直交射影して得られる集合は凸集合である。 方針 直行射影が線形変換であることを証明し、Theorem 3.4（Rockafellar 1970）を適用する。 ただし、証明が長くなるため直行射影定理や直行分解の性質は既知として進める。 証明 $L…

定理 $A$を$\mathbb{R}^{n}$から$\mathbb{R}^{m}$への線形変換とする。このとき、任意の凸集合$C \subset \mathbb{R}^{n}$に対して$AC = \lbrace Ax \mid x \in C \rbrace$は凸集合である。また任意の凸集合$D \subset \mathbb{R}^{m}$に対して $A^{-1}D = \…

定理 ${C_i | i \in I }$ を $\mathbb{R}^{n}$内の非空の凸集合の任意の集合とする。このとき、$\lbrace \lbrace \lambda_i \rbrace_{i \in I} \mid \Sigma_{i \in I} \lambda_i = 1, \quad \lambda_i \in \mathbb{R}_{+} \quad i \in I \rbrace$とすると、 …

定理 $C$ が凸集合であり、$\lambda_1 \geq 0$, $\lambda_2 \geq 0$ ならば、$(\lambda_1 + \lambda_2)C = \lambda_1 C + \lambda_2 C$となる。 証明 （$\Rightarrow$） $x \in C$とすれば、$(\lambda_1 + \lambda_2)x = \lambda_1 x + \lambda_2 x$より明ら…

定理 もし $C_1$ と $C_2$ が $\mathbb{R}^{n}$ 内の凸集合であれば、それらの和 $C_1 + C_2 = \lbrace x_1 + x_2 \mid x_1 \in C_1, x_2 \in C_2 \rbrace$ も凸である。 証明 $x, y \in C_1 + C_2$ とすると、$x_1, y_1 \in C_1 \quad x_2, y_2 \in C_2$ を…

定理 $K$ を$0$を含む凸錐とする。このとき、$K$ を含む最小の部分空間は$K - K = \lbrace x - y \mid x \in K, y \in K \rbrace = \mathrm{aff}\ K$であり、$K$ 内に含まれる最大の部分空間は$(-K) \cap K$である。 証明 （Kを含む最小の部分空間） Theorem…

定理 凸集合$C$に対して、$K = \lbrace \lambda x \mid \lambda > 0, x \in C \rbrace$とする。$K$ は $C$ を含む最小の凸錐である。 証明 Corollary 2.6.2（Rockafellar 1970）より、Cの全ての線形結合が$K$に含まれることを示せば良い。Theorem 2.2（Rocka…

定理 任意の $\mathbb{R}^{n}$ の部分集合 $S$ と、$S$ の全ての正の線形結合の集合 $K$ を考える。このとき、$K$ は $S$ を含む最小の凸錐である。 証明 題意より明らかに$K \supseteq S$となる。また、Corollary 2.6.1（Rockafellar 1970）より$K$は凸錐と…

定理 ある $\mathbb{R}^n$ の部分集合が凸錐であるための必要十分条件は、その部分集合がその要素の全ての正の線形結合を含むことである。 方針 必要条件はTheorem 2.6（Rockafellar 1970）の内容を加算個に拡張したものであるため、数学的帰納法で証明する…

定理 ある$\mathbb{R}^{n}$の部分集合が凸錐であるための必要十分条件は、それが加法と正のスカラー倍に対して閉じていることである。 証明 （$\Rightarrow$） $K$ を凸錐とし、$x,y \in K$ とする。$K$ が凸であることより、$z = \frac{1}{2}(x + y) \in K$…

定理 任意の添字集合 $I$ に対して、$b_i \in \mathbb{R}^n$ とするとき、$K = \lbrace x \in \mathbb{R}^n \mid \langle x, b_i \rangle \leq 0, i \in I \rbrace$は凸錐である。 方針 Corollary 2.1.1（Rockafellar 1970）と同様に証明する。 証明 $K_i = …

定理 任意の凸錐の集合の交わりは凸錐である。 方針 Theorem 2.1（Rockafellar 1970）と同様に証明する。 証明 凸錐の族を$\lbrace K_\lambda \rbrace_{\lambda \in \Lambda}$とし、その積集合を$K = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_\lambda$とする。 $\fo…

定理 任意の $S \subset R^{n}$ に対して、$\operatorname{conv} S$ は $S$ の要素のすべての凸結合から成ります。 証明 （Sの凸結合$\rightarrow \operatorname{conv} S$） $S \subseteq \operatorname{conv}S$であり、その凸結合は全てTheorem 2.2（Rockaf…

定理 $\mathbb{R}^{n}$ の部分集合$C$が凸集合であることと、$C$がその元についてのすべての凸結合を含むことと同値である。 証明 帰納法を用いて証明する。 1. $m=2$のとき 凸集合の定義より、$\forall x_1, x_2 \in C$に対して、$\lambda_1 + \lambda_2 = …

定理 任意の添字集合 $I$ に対して、$i \in I$ のとき $b_i \in \mathbb{R}^n$ かつ $\beta_i \in \mathbb{R}$ とする。このとき集合$C = \lbrace x \in \mathbb{R}^n \mid \langle x, b_i \rangle \leq \beta_i, \forall i \in I \rbrace$は凸である。 証明…

定理 凸集合の積集合は凸集合である。 証明 凸集合の族を$\lbrace C_\lambda \rbrace_{\lambda \in \Lambda}$とし、その積集合を$C = \bigcap_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda$とする。 $\forall \lambda \in \Lambda, \forall x,y \in C \subseteq C_\lamb…

論文の概要 DROを考える動機 提案モデルおよび理論的保証 提案モデル 理論的保証 参考文献 論文の概要 敵対的サンプルが含まれるデータセットに対してロバストに回帰分析ができるよう、$p$-Wassersteinで不確実集合を定義した、偏差誤差を最小化するDROを提…

本研究の概要 既存研究の課題 LiIDARの課題 衛星画像の課題 提案手法の流れ（詳細は論文を読むこと） デジタル標高モデル（DEM）の作成 地面領域の決定 屋根のマスク作成 木の除去 木の除去により発生する孔の補正 参考文献 本研究の概要 ドローン/衛生画像…

定理 $\mathbb{R}^n$から$\mathbb{R}^m$へのアフィン変換$T$は、$Tx = Ax + a$の写像である。このとき$A$は線形変換、$a \in \mathbb{R}^m$である。 方針 ・$Ax = Tx - a$となる写像$A$の存在は、$Tx-a$が存在すれば、示さなくても良い。 ・$A$の線形性を示…

系 任意の $\mathbb{R}^n$内のアフィン部分集合は、有限個の超平面の交差である。 証明 Theorem 1.4（Rockafellar 1970）より、任意のアフィン集合$M$は$\lbrace x \mid Bx = \boldsymbol{\beta} \rbrace$と記述できる。 ここで、$b_i$を$B$の第$i$ 行とし、…

研究の概要 内容 顧客行動の変化を表す４つの分類 （参考）指標の記述のために用いる変数 提案する２つの指標 参考文献 研究の概要 顧客との長い良好な関係を構築するために、顧客行動やその変化の検出が必要である。本論文では、アソシエーションルール分析…

定理 各非空アフィン集合$M$に並行な部分空間は一意に定まる。この部分空間を$L$とすると次のように表される。 $$ L = M - M = \lbrace x - y \mid x \in M, y \in M \rbrace $$ 方針 ・部分空間が一意であることを示すにあたり、どのような部分空間も全て同…

定理 $\mathbb{R}^n$ の部分空間は原点を含むアフィン集合である。 方針 同値であることを主張していることに注意が必要。 証明 （部分空間$\rightarrow$アフィン集合） すべての部分空間は 0 を含む。また部分空間は加法およびスカラー乗算の下で閉じており…

論文の概要 内容 CRMの4つの分類 データマイニング技術の７つの分類 参考文献 論文の概要 顧客管理（CRM：Customer Relationship Management）へのデータマイニング技術の応用についてサーベイした論文はほとんどない。本論文は、2000年から2006年までに出版…

定理 $b \in \mathbb{R}^m$ および $m \times n$ 実行列 $B$ が与えられたとする。集合$M = \lbrace x \in \mathbb{R}^n \mid Bx = b \rbrace$は $\mathbb{R}^n$ 内のアフィン集合である。さらに、すべてのアフィン集合はこのように表現することができる。 …